Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{8}{2 t + 16}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2 t + 16$ .

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 t + 16}]$

Schritt 1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t) + 16}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t) + 2 (8)}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (t) + 2 (8)$ heraus.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t + 8)}]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t + 8)}]$

Schritt 1.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d t} [\frac{4}{t + 8}]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{t + 8}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 8}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 8}]$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\frac{1}{t + 8}$ als ${(t + 8)}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t + 8$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 8$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 8$ .

$4 (- {(t + 8)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 ({(t + 8)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

Schritt 1.3.4

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 {(t + 8)}^{- 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(t + 8)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (t) = - \frac{4}{{(t + 8)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{{(t + 8)}^{2}}$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$ als ${({(t + 8)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d t} [{({(t + 8)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 8)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 2}$ und $g (t) = t + 8$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 8$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 8$ .

$- 4 (- 2 {(t + 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 ({(t + 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

Schritt 2.3.4

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 {(t + 8)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{8}{{(t + 8)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{{(t + 8)}^{3}}$ nach $t$ gleich $8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$ als ${({(t + 8)}^{3})}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d t} [{({(t + 8)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 8)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 3}$ und $g (t) = t + 8$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 8$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 8$ .

$8 (- 3 {(t + 8)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$- 24 ({(t + 8)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

Schritt 3.3.4

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$- 24 {(t + 8)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{{(t + 8)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{{(t + 8)}^{4}}$ .

$\frac{- 24}{{(t + 8)}^{4}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (t) = - \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $- \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$ .

$- \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$