Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - x + 5$ und $g (x) = x^{5} - 6 x^{4} - 7$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{5} - 6 x^{4} - 7] + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 6 x^{4} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3} + 0) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.7

Addiere $5 x^{4} - 24 x^{3}$ und $0$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} - x + 5]$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 4 x^{2} - x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.2.16

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1 + 0)$

Schritt 1.2.17

Addiere $3 x^{2} + 8 x - 1$ und $0$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1)$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3})$ heraus.

$1 ((x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3})) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1)$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $1$ aus $(x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1)$ heraus.

$1 ((x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3})) + 1 ((x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1))$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3})) + 1 ((x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1))$ heraus.

$1 ((x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1))$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1)$ mit $1$ .

$(x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) (5 x^{4} - 24 x^{3}) + (x^{5} - 6 x^{4} - 7) (3 x^{2} + 8 x - 1)$

Schritt 1.3.3

Stelle die Terme um.

$(5 x^{4} - 24 x^{3}) (x^{3} + 4 x^{2} - x + 5) + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1

Multipliziere $(5 x^{4} - 24 x^{3}) (x^{3} + 4 x^{2} - x + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$5 x^{4} x^{3} + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$5 (x^{3} x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{3 + 4} + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$5 x^{7} + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{7} + 5 \cdot 4 x^{4} x^{2} + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.2.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{7} + 5 \cdot 4 (x^{2} x^{4}) + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} + 5 \cdot 4 x^{2 + 4} + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.3.3

Addiere $2$ und $4$ .

$5 x^{7} + 5 \cdot 4 x^{6} + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} + 5 x^{4} (- x) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{7} + 20 x^{6} + 5 \cdot - 1 x^{4} x + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.2.6.1

Bewege $x$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} + 5 \cdot - 1 (x \cdot x^{4}) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.3.4.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} + 5 \cdot - 1 (x^{1} x^{4}) + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} + 20 x^{6} + 5 \cdot - 1 x^{1 + 4} + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.6.3

Addiere $1$ und $4$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} + 5 \cdot - 1 x^{5} + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{4} \cdot 5 - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{3} x^{3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.2.9.1

Bewege $x^{3}$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 (x^{3} x^{3}) - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{3 + 3} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.9.3

Addiere $3$ und $3$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 24 x^{3} (4 x^{2}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 24 \cdot 4 x^{3} x^{2} - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.11

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.2.11.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 24 \cdot 4 (x^{2} x^{3}) - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 24 \cdot 4 x^{2 + 3} - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.11.3

Addiere $2$ und $3$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 24 \cdot 4 x^{5} - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.12

Mutltipliziere $- 24$ mit $4$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} - 24 x^{3} (- x) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} - 24 \cdot - 1 x^{3} x - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.14

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.2.14.1

Bewege $x$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} - 24 \cdot - 1 (x \cdot x^{3}) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.14.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.3.4.2.14.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} - 24 \cdot - 1 (x^{1} x^{3}) - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} - 24 \cdot - 1 x^{1 + 3} - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.14.3

Addiere $1$ und $3$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} - 24 \cdot - 1 x^{4} - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.15

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} + 24 x^{4} - 24 x^{3} \cdot 5 + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.2.16

Mutltipliziere $5$ mit $- 24$ .

$5 x^{7} + 20 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 24 x^{6} - 96 x^{5} + 24 x^{4} - 120 x^{3} + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.3

Subtrahiere $24 x^{6}$ von $20 x^{6}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 5 x^{5} + 25 x^{4} - 96 x^{5} + 24 x^{4} - 120 x^{3} + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.4

Subtrahiere $96 x^{5}$ von $- 5 x^{5}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 25 x^{4} + 24 x^{4} - 120 x^{3} + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.5

Addiere $25 x^{4}$ und $24 x^{4}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + (3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$

Schritt 1.3.4.6

Multipliziere $(3 x^{2} + 8 x - 1) (x^{5} - 6 x^{4} - 7)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{2} x^{5} + 3 x^{2} (- 6 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.7.1.1

Bewege $x^{5}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 (x^{5} x^{2}) + 3 x^{2} (- 6 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{5 + 2} + 3 x^{2} (- 6 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.1.3

Addiere $5$ und $2$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} + 3 x^{2} (- 6 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} + 3 \cdot - 6 x^{2} x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.7.3.1

Bewege $x^{4}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} + 3 \cdot - 6 (x^{4} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} + 3 \cdot - 6 x^{4 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.3.3

Addiere $4$ und $2$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} + 3 \cdot - 6 x^{6} + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} + 3 x^{2} \cdot - 7 + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x \cdot x^{5} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.6

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.7.6.1

Bewege $x^{5}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 (x^{5} x) + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.6.2

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.4.7.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 (x^{5} x^{1}) + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{5 + 1} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.6.3

Addiere $5$ und $1$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} + 8 x (- 6 x^{4}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} + 8 \cdot - 6 x \cdot x^{4} + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.8

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.4.7.8.1

Bewege $x^{4}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} + 8 \cdot - 6 (x^{4} x) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.8.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 1.3.4.7.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} + 8 \cdot - 6 (x^{4} x^{1}) + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} + 8 \cdot - 6 x^{4 + 1} + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.8.3

Addiere $4$ und $1$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} + 8 \cdot - 6 x^{5} + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.9

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} - 48 x^{5} + 8 x \cdot - 7 - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.10

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} - 48 x^{5} - 56 x - 1 x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.11

Schreibe $- 1 x^{5}$ als $- x^{5}$ um.

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} - 48 x^{5} - 56 x - x^{5} - 1 (- 6 x^{4}) - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} - 48 x^{5} - 56 x - x^{5} + 6 x^{4} - 1 \cdot - 7$

Schritt 1.3.4.7.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 18 x^{6} - 21 x^{2} + 8 x^{6} - 48 x^{5} - 56 x - x^{5} + 6 x^{4} + 7$

Schritt 1.3.4.8

Addiere $- 18 x^{6}$ und $8 x^{6}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 10 x^{6} - 21 x^{2} - 48 x^{5} - 56 x - x^{5} + 6 x^{4} + 7$

Schritt 1.3.4.9

Subtrahiere $x^{5}$ von $- 48 x^{5}$ .

$5 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} + 3 x^{7} - 10 x^{6} - 21 x^{2} - 49 x^{5} - 56 x + 6 x^{4} + 7$

Schritt 1.3.5

Addiere $5 x^{7}$ und $3 x^{7}$ .

$8 x^{7} - 4 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} - 10 x^{6} - 21 x^{2} - 49 x^{5} - 56 x + 6 x^{4} + 7$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $10 x^{6}$ von $- 4 x^{6}$ .

$8 x^{7} - 14 x^{6} - 101 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} - 21 x^{2} - 49 x^{5} - 56 x + 6 x^{4} + 7$

Schritt 1.3.7

Subtrahiere $49 x^{5}$ von $- 101 x^{5}$ .

$8 x^{7} - 14 x^{6} - 150 x^{5} + 49 x^{4} - 120 x^{3} - 21 x^{2} - 56 x + 6 x^{4} + 7$

Schritt 1.3.8

Addiere $49 x^{4}$ und $6 x^{4}$ .

$f' (x) = 8 x^{7} - 14 x^{6} - 150 x^{5} + 55 x^{4} - 120 x^{3} - 21 x^{2} - 56 x + 7$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{7} - 14 x^{6} - 150 x^{5} + 55 x^{4} - 120 x^{3} - 21 x^{2} - 56 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{7}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{7}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$8 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 14 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$56 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 14 x^{6}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 x^{6}$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$56 x^{6} - 14 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$56 x^{6} - 14 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 14$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 150 x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 150 x^{5}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 150$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 150 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 150 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 150 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 150 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 150$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + \frac{d}{d x} [55 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [55 x^{4}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $55$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $55 x^{4}$ nach $x$ gleich $55 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 55 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 55 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $55$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 120 x^{3}]$ .

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Schritt 2.6.1

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 120 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 120$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Schritt 2.7.1

Da $- 21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 21 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 21$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 56 x]$ .

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Schritt 2.8.1

Da $- 56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 56 x$ nach $x$ gleich $- 56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $- 56$ mit $1$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.9.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56 + 0$

Schritt 2.9.2

Addiere $56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56$ und $0$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $56 x^{6} - 84 x^{5} - 750 x^{4} + 220 x^{3} - 360 x^{2} - 42 x - 56$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [56 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 84 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$ .

$\frac{d}{d x} [56 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 84 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [56 x^{6}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $56 x^{6}$ nach $x$ gleich $56 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 84 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$56 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 84 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $56$ .

$336 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 84 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 84 x^{5}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 84$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 84 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 84 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$336 x^{5} - 84 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$336 x^{5} - 84 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 84$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 750 x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 750 x^{4}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 750$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 750 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 750 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 750 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 750 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 750$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + \frac{d}{d x} [220 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [220 x^{3}]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $220$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $220 x^{3}$ nach $x$ gleich $220 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 220 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 220 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $220$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 360 x^{2}]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $- 360$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 360 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 360 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 360 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 360 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 360$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42 x$ nach $x$ gleich $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $- 42$ mit $1$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42 + \frac{d}{d x} [- 56]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.8.1

Da $- 56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 56$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42 + 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42$ und $0$ .

$f''' (x) = 336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42$ .

$336 x^{5} - 420 x^{4} - 3000 x^{3} + 660 x^{2} - 720 x - 42$