Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \sin (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 x + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 x + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 x + 2 \cos (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 2 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 - 4 \sin (2 x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 - 4 \sin (2 x)$ .

$2 - 4 \sin (2 x)$