Analysis Beispiele

$f (x) = {(\frac{x}{12})}^{15}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{15}$ und $g (x) = \frac{x}{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{12}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{12}$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} (\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $15$ .

$\frac{15}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (5)}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \cdot 1$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{12}$ an.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{12^{14}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Potenziere $12$ mit $14$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{1283918464548860}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{x^{14}}{1283918464548860}$ .

$\frac{5 x^{14}}{4 \cdot 1283918464548860}$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1283918464548860$ .

$\frac{5 x^{14}}{5135673858195440}$

Schritt 1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $5135673858195440$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{14}$ heraus.

$\frac{5 (x^{14})}{5135673858195440}$

Schritt 1.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5135673858195440$ heraus.

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Schritt 1.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Schritt 1.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x^{14}}{1027134771639088}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{1}{1027134771639088}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{14}}{1027134771639088}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{1027134771639088} \frac{d}{d x} [x^{14}]$ .

$\frac{1}{1027134771639088} \frac{d}{d x} [x^{14}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 14$ .

$\frac{1}{1027134771639088} (14 x^{13})$

Schritt 2.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Kombiniere $14$ und $\frac{1}{1027134771639088}$ .

$\frac{14}{1027134771639088} x^{13}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{14}{1027134771639088}$ und $x^{13}$ .

$\frac{14 x^{13}}{1027134771639088}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $1027134771639088$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x^{13}$ heraus.

$\frac{14 (x^{13})}{1027134771639088}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $14$ aus $1027134771639088$ heraus.

$\frac{14 x^{13}}{14 \cdot 73366769402792}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x^{13}}{14 \cdot 73366769402792}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x^{13}}{73366769402792}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{13}}{73366769402792}$ .

$\frac{x^{13}}{73366769402792}$