Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 \ln (t)}{t}$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Multipliziere $7 (- \ln (t))$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Vereinfache $- 7 \ln (t)$ , indem du $7$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - \ln (t^{7})$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (t^{7})$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t^{7}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t^{7}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{7}$ heraus.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.3

Kombiniere $\frac{- 7}{t^{5}}$ und $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{6}$ und $t^{5}$ .

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Schritt 2.4.4.4.1

Faktorisiere $t^{5}$ aus $- 7 t^{6}$ heraus.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.4.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.4.4.2.4

Dividiere $- 7 t$ durch $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Schritt 2.4.6.2

Faktorisiere $t$ aus $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ heraus.

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Schritt 2.4.6.2.1

Faktorisiere $t$ aus $- 7 t$ heraus.

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Schritt 2.4.6.2.2

Faktorisiere $t$ aus $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ heraus.

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Schritt 2.4.6.2.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ heraus.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Schritt 2.6.2.1.2

Multipliziere $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

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Schritt 2.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Schritt 2.6.2.1.2.2

Vereinfache $2 \ln (t^{7})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Schritt 2.6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{7})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Schritt 2.6.2.1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Schritt 2.6.2.2

Subtrahiere $14$ von $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Schritt 2.6.3

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (t^{14})$ heraus.

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ heraus.

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Schritt 2.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$