Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + x + x^{2} + \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x + x^{2} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Addiere $0$ und $1$ .

$1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Schritt 1.3.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{1}{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 - x^{- 2} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2 - \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2$