Analysis Beispiele

$P (t) = \frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $1000$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$ nach $t$ gleich $1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$ .

$1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = e^{0.12 t}$ und $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 0.12 t$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $0.12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.12 t$ nach $t$ gleich $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $0.12$ mit $1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $0.12$ auf die linke Seite von $(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{0.12 \cdot ((19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $19 + e^{0.12 t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Da $19$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $19$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 0.12 t$ .

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Schritt 1.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t + 0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $0.12 t$ und $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.8

Da $0.12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.12 t$ nach $t$ gleich $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $0.12$ mit $- 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \cdot 1}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.11.1

Mutltipliziere $- 0.12$ mit $1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.11.2

Kombiniere $1000$ und $\frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ .

$\frac{1000 (0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1000 ((0.12 \cdot 19 + 0.12 e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.4.1.1

Mutltipliziere $0.12$ mit $19$ .

$\frac{1000 (2.28 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.1.2

Mutltipliziere $2.28$ mit $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.1.3

Multipliziere $e^{0.12 t}$ mit $e^{0.12 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.12.4.1.3.1

Bewege $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 (e^{0.12 t} e^{0.12 t})) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t + 0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.1.3.3

Addiere $0.12 t$ und $0.12 t$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.24 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.1.4

Mutltipliziere $0.12$ mit $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.1.5

Mutltipliziere $- 0.12$ mit $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} - 120 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.2

Subtrahiere $120 e^{0.24 t}$ von $120 e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.3

Mutltipliziere $0$ mit $e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 1.12.4.4

Addiere $2280 e^{0.12 t}$ und $0$ .

$f' (t) = \frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2280$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ nach $t$ gleich $2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$ .

$2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$

Schritt 2.2

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 0.12 t$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $0.12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.12 t$ nach $t$ gleich $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $0.12$ mit $1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.5.3.2

Bringe $0.12$ auf die linke Seite von ${(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 \cdot ({(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.7

Differenziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $19 + e^{0.12 t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.7.3

Da $19$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $19$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.7.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 0.12 t$ .

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Schritt 2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t + 0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.10

Addiere $0.12 t$ und $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.11

Da $0.12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.12 t$ nach $t$ gleich $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0.12 \frac{d}{d t} [t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Bringe $0.12$ auf die linke Seite von $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} (0.12 \cdot (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $0.12$ mit $- 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \cdot 1)}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Mutltipliziere $19 + e^{0.12 t}$ mit $1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.14.2

Kombiniere $2280$ und $\frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19 - 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.15.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.3.1.1

Schreibe ${(19 + e^{0.12 t})}^{2}$ als $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ um.

$\frac{2280 (0.12 ((19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.2

Multipliziere $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.15.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (0.12 (19 (19 + e^{0.12 t}) + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.15.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.15.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $19$ mit $19$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.3.1.2

Bringe $19$ auf die linke Seite von $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 \cdot e^{0.12 t} + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.3.1.3

Multipliziere $e^{0.12 t}$ mit $e^{0.12 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.3.1.3.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t + 0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.3.1.3.2

Addiere $0.12 t$ und $0.12 t$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.3.2

Addiere $19 e^{0.12 t}$ und $19 e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 38 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 ((0.12 \cdot 361 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.3.1.5.1

Mutltipliziere $0.12$ mit $361$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.5.2

Mutltipliziere $38$ mit $0.12$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 4.56 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t} e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.15.3.1.7.1

Multipliziere $e^{0.12 t}$ mit $e^{0.12 t}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.3.1.7.1.1

Bewege $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 (e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t + 0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.7.1.3

Addiere $0.12 t$ und $0.12 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.7.2

Multipliziere $e^{0.24 t}$ mit $e^{0.12 t}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.3.1.7.2.1

Bewege $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 (e^{0.12 t} e^{0.24 t})) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.12 t + 0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.7.2.3

Addiere $0.12 t$ und $0.24 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t}) + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.3.1.9.1

Mutltipliziere $43.32$ mit $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.9.2

Mutltipliziere $4.56$ mit $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.9.3

Mutltipliziere $0.12$ mit $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.10

Mutltipliziere $19$ mit $- 0.24$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.11

Mutltipliziere $- 4.56$ mit $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.12

Multipliziere $e^{0.24 t}$ mit $e^{0.12 t}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.3.1.12.1

Bewege $e^{0.12 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 (e^{0.12 t} e^{0.24 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.12 t + 0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.12.3

Addiere $0.12 t$ und $0.24 t$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.1.13

Mutltipliziere $- 0.24$ mit $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.2

Subtrahiere $10396.8 e^{0.24 t}$ von $10396.8 e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.4

Addiere $98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t}$ und $0$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.3.5

Subtrahiere $547.2 e^{0.36 t}$ von $273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.4

Faktorisiere $273.6$ aus $98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.15.4.1

Faktorisiere $273.6$ aus $98769.6 e^{0.12 t}$ heraus.

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.4.2

Faktorisiere $273.6$ aus $- 273.6 e^{0.36 t}$ heraus.

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 2.15.4.3

Faktorisiere $273.6$ aus $273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})$ heraus.

$f'' (t) = \frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $P (t)$ nach $t$ ist $\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$