Analysis Beispiele

$V (r) = k (16 r^{2} - r^{3})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $k$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $k (16 r^{2} - r^{3})$ nach $r$ gleich $k \frac{d}{d r} [16 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [16 r^{2} - r^{3}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 r^{2} - r^{3}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Schritt 1.3

Da $16$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $16 r^{2}$ nach $r$ gleich $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$k (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$k (32 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Schritt 1.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- r^{3}$ nach $r$ gleich $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (32 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$k (32 r - (3 r^{2}))$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$k (32 r - 3 r^{2})$

Schritt 1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k (32 r) + k (- 3 r^{2})$

Schritt 1.9.2

Bringe $32$ auf die linke Seite von $k$ .

$32 k r + k (- 3 r^{2})$

Schritt 1.9.3

Stelle die Terme um.

$f' (r) = 32 k r - 3 r^{2} k$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $32 k r - 3 r^{2} k$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [32 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [32 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d r} [32 k r]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $32 k$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $32 k r$ nach $r$ gleich $32 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$32 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$32 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$32 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3 k$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- 3 r^{2} k$ nach $r$ gleich $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$32 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$32 k - 3 k (2 r)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$32 k - 6 k r$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (r) = - 6 k r + 32 k$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $V (r)$ nach $r$ ist $- 6 k r + 32 k$ .

$- 6 k r + 32 k$