Analysis Beispiele

$f (u) = \sqrt{11 - 3 u}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11 - 3 u}$ als ${(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d u} [{(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{\frac{1}{2}}$ und $g (u) = 11 - 3 u$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $11 - 3 u$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $11 - 3 u$ .

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 - 3 u$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [11] + \frac{d}{d u} [- 3 u]$ .

$\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [11] + \frac{d}{d u} [- 3 u])$

Schritt 1.9

Da $11$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d u} [- 3 u])$

Schritt 1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d u} [- 3 u]$ .

$\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d u} [- 3 u]$

Schritt 1.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 3 u$ nach $u$ gleich $- 3 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d u} [u])$

Schritt 1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.12.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 1.12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (u) = - \frac{3}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $u$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d u} [\frac{1}{{(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d u} [\frac{1}{{(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d u} [{({(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d u} [{(11 - 3 u)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d u} [{(11 - 3 u)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d u} [{(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ und $g (u) = 11 - 3 u$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $11 - 3 u$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $11 - 3 u$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2} {(11 - 3 u)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.7.2

Kombiniere ${(11 - 3 u)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{{(11 - 3 u)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.3.1

Bringe ${(11 - 3 u)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.7.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u])$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [11 - 3 u]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 - 3 u$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [11] + \frac{d}{d u} [- 3 u]$ .

$\frac{3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [11] + \frac{d}{d u} [- 3 u])$

Schritt 2.9

Da $11$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d u} [- 3 u])$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d u} [- 3 u]$ .

$\frac{3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [- 3 u]$

Schritt 2.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 3 u$ nach $u$ gleich $- 3 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} (- 3 \frac{d}{d u} [u])$

Schritt 2.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.12.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{- 9}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 2.12.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{9}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (u) = - \frac{9}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (u)$ nach $u$ ist $- \frac{9}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{9}{4 {(11 - 3 u)}^{\frac{3}{2}}}$