Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1 - 8 x}{8 - 6 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 8 x$ und $g (x) = 8 - 6 x$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [1 - 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 - 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [- 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \cdot 1) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{(8 - 6 x) \cdot - 8 - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $8 - 6 x$ .

$\frac{- 8 \cdot (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [- 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (- 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \cdot 1}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.2.13

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$\frac{- 64 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 8$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $6$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 - 48 x}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 64 + 48 x + 6 - 48 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $48 x$ von $48 x$ .

$\frac{- 64 + 0 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $- 64$ und $0$ .

$\frac{- 64 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Addiere $- 64$ und $6$ .

$\frac{- 58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8 - 6 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{58}{{(2 (4) - 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$- \frac{58}{{(2 (4) + 2 (- 3 x))}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4) + 2 (- 3 x)$ heraus.

$- \frac{58}{{(2 (4 - 3 x))}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Wende die Produktregel auf $2 (4 - 3 x)$ an.

$- \frac{58}{2^{2} {(4 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{58}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $58$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $58$ heraus.

$- \frac{2 (29)}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(4 - 3 x)}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (29)}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 29}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = - \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Da $- \frac{29}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ als ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = 4 - 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 {(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{29}{2}) ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Schritt 2.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{29}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $29$ .

$\frac{58}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ und $\frac{58}{2}$ .

$\frac{{(4 - 3 x)}^{- 3} \cdot 58}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.4.1

Bringe $58$ auf die linke Seite von ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ .

$\frac{58 \cdot {(4 - 3 x)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.2.4.2

Bringe ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{58}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $58$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $58$ heraus.

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - 3 x)}^{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 29}{2 ({(4 - 3 x)}^{3})} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $29$ .

$\frac{- 87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \cdot 1$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$