Analysis Beispiele

$x = \cos (t)$ $y = \sin (t)$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = \cos (t)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\cos (t) = x$ um.

$\cos (t) = x$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (x)$

Schritt 4

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = \sin (\arccos (x))$

Schritt 5

Entferne die Klammern.

$y = \sin (\arccos (x))$

Schritt 6

Vereinfache $\sin (\arccos (x))$ .

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Schritt 6.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$