Analysis Beispiele

$(f x) = \frac{1}{2} x^{3} + 4 x^{3} - x + 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{3} + 4 x^{3} - x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 12 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 12 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 12 x^{2} - 1 + 0$

Schritt 1.6

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Um $12 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 12 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - 1 + 0$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $12 x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{12 x^{2} \cdot 2}{2} - 1 + 0$

Schritt 1.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} \cdot 2}{2} - 1 + 0$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{3 x^{2} + 24 x^{2}}{2} - 1 + 0$

Schritt 1.6.5

Addiere $3 x^{2}$ und $24 x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2}}{2} - 1 + 0$

Schritt 1.6.6

Addiere $\frac{27 x^{2}}{2} - 1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{27 x^{2}}{2} - 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{27 x^{2}}{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{27 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{27 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{27 x^{2}}{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $\frac{27}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27 x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{27}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{27}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{54}{2}$ und $x$ .

$\frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $54 x$ heraus.

$\frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $27 x$ durch $1$ .

$27 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$27 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $27 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 27 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$27 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f''' (x) = 27$

Schritt 4

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$