Analysis Beispiele

$y = 11 \csc (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 \csc (x)$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- 11 (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $- 11 \csc (x) \cot (x)$ um.

$f' (x) = - 11 \cot (x) \csc (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 \cot (x) \csc (x)$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$- 11 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 11 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- 11 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.5

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- 11 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 11 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 2.8

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Schritt 2.9

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $2$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Schritt 2.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 11 (- \csc^{3} (x))$

Schritt 2.12.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$11 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 11 (- \csc^{3} (x))$

Schritt 2.12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$11 \csc (x) \cot^{2} (x) + 11 \csc^{3} (x)$

Schritt 2.12.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 11 \cot^{2} (x) \csc (x) + 11 \csc^{3} (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 \cot^{2} (x) \csc (x) + 11 \csc^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 \cot^{2} (x) \csc (x)$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.2

$11 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $\cot^{2} (x)$ mit $\cot (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1

Bewege $\cot (x)$ .

$11 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $\cot^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.2.1

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$11 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$11 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.8

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.2.10

Addiere $1$ und $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 \csc^{3} (x)$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.3.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) \cot (x))$

Schritt 3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x))$

Schritt 3.3.7

Addiere $1$ und $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $11$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x))) + 11 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- 11 (\cot^{3} (x) (\csc (x))) + 11 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$- 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 22 (\cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Schritt 3.4.2.3

Stelle die Faktoren von $- 22 \cot (x) \csc^{3} (x)$ um.

$- 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 22 \csc^{3} (x) \cot (x) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Schritt 3.4.2.4

Subtrahiere $33 \csc^{3} (x) \cot (x)$ von $- 22 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = - 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 55 \csc^{3} (x) \cot (x)$