Analysis Beispiele

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x + 2)}^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.5.8

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.6.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Schritt 3.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Schritt 3.7.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$