Analysis Beispiele

$y = \sec (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (2 x)$ und $g (x) = \tan (2 x)$ .

$2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.6.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{3} (2 x)$ .

$2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.7.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.8

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.9

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 2.12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.14.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Schritt 2.15.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.15.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Schritt 2.15.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Schritt 2.15.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.7.2

Die Ableitung von $\tan (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec^{2} (u_{3})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.12

Multipliziere $\tan^{2} (2 x)$ mit $\tan (2 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.12.1

Bewege $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.12.2

Mutltipliziere $\tan (2 x)$ mit $\tan^{2} (2 x)$ .

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Schritt 3.2.12.2.1

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$4 (\tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.12.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan^{3} (2 x)$ .

$4 (2 \cdot \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.15

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.17

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.2.19

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sec^{3} (2 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\sec (u_{5})$ nach $u_{5}$ ist $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 3.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Schritt 3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Schritt 3.3.9

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

Schritt 3.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

Schritt 3.3.11

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Schritt 3.3.12

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 3.4.2.3

Stelle die Faktoren von $16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ um.

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 3.4.2.4

Addiere $16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ und $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$