Analysis Beispiele

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.1.2

Stelle die Faktoren in $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ um.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \cos (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x) - \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

Schritt 1.5.3.2.4

Dividiere $- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ durch $1$ .

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.2.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x} \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Schritt 2.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Schritt 2.3.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4.3.4

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Schritt 2.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

Schritt 2.4.3.6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Schritt 2.4.3.7

Addiere $\sin (x) e^{- x}$ und $e^{- x} \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.7.1

Stelle $\sin (x)$ und $e^{- x}$ um.

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Schritt 2.4.3.7.2

Addiere $e^{- x} \sin (x)$ und $e^{- x} \sin (x)$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Schritt 2.4.3.8

Addiere $- e^{- x} \cos (x)$ und $\cos (x) e^{- x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.8.1

Stelle $\cos (x)$ und $e^{- x}$ um.

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

Schritt 2.4.3.8.2

Addiere $- e^{- x} \cos (x)$ und $e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

Schritt 2.4.3.9

Addiere $2 e^{- x} \sin (x)$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$