Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{3}}{3} - x + 7 e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{3} - x + 7 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{12}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.2.6.2.4

Dividiere $4 x^{2}$ durch $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [7 e^{x}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{2} - 1 + 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 x^{2} - 1 + 7 e^{x}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 4 x^{2} + 7 e^{x} - 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 7 e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 x + 7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 x + 7 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 7 e^{x} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $8 x + 7 e^{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 7 e^{x}$