Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (2 x)$ und $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{5}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.4.2.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Schritt 1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Schritt 1.4.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.8.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Schritt 1.4.8.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ heraus.

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Schritt 1.4.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Schritt 1.4.8.2.2

Faktorisiere $x^{5}$ aus $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ heraus.

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Schritt 1.4.8.2.3

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ heraus.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Schritt 1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus $x^{12}$ heraus.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache $- 6 \ln (2 x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

Schritt 1.6.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Schritt 1.6.3

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (64 x^{6})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (64 x^{6})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 64 x^{6}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $x^{7}$ und $\frac{1}{64 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{7}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{7}$ heraus.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $64 x^{6}$ heraus.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{6}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4.2

Kombiniere $- 64$ und $\frac{x}{64}$ .

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64$ und $64$ .

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Schritt 2.4.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $- 64 x$ heraus.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.4.3.2.1

Faktorisiere $64$ aus $64$ heraus.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.4.3.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.5

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $x$ .

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.5.3

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Schritt 2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $x^{6}$ aus $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $- 6 x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $x^{6}$ aus $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ heraus.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Schritt 2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $x^{14}$ heraus.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Schritt 2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Schritt 2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.2.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.1.2

Multipliziere $- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ .

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Schritt 2.9.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.1.2.2

Vereinfache $7 \ln (64 x^{6})$ , indem du $7$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.1.3

Wende die Produktregel auf $64 x^{6}$ an.

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.1.4

Potenziere $64$ mit $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{7}$ .

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Schritt 2.9.2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

Schritt 2.9.2.2

Subtrahiere $7$ von $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$