Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{5} \tan (9 x - 5)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} \cdot \tan (9 x - 5)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\tan (9 x - 5)]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\tan (9 x - 5)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 9 x - 5$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x - 5$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{5} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x - 5$ .

$\frac{1}{5} (\sec^{2} (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\sec^{2} (9 x - 5)$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} \frac{d}{d x} [9 x - 5]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.3.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + 0)$

Schritt 1.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} \cdot 9$

Schritt 1.3.7.2

Kombiniere $\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ und $9$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5) \cdot 9}{5}$

Schritt 1.3.7.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (9 x - 5)$ .

$f' (x) = \frac{9 \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{9}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (9 x - 5)]$ .

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (9 x - 5)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (9 x - 5)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (9 x - 5)$ .

$\frac{9}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{9}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (9 x - 5)$ .

$\frac{9}{5} (2 \sec (9 x - 5) \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{9}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{5} (\sec (9 x - 5) \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18}{5} (\sec (9 x - 5) \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sec (9 x - 5)$ und $\frac{18}{5}$ .

$\frac{\sec (9 x - 5) \cdot 18}{5} \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)]$

Schritt 2.3.4

Bringe $18$ auf die linke Seite von $\sec (9 x - 5)$ .

$\frac{18 \cdot \sec (9 x - 5)}{5} \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 9 x - 5$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $9 x - 5$ .

$\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $9 x - 5$ .

$\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5} (\sec (9 x - 5) \tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.5

Kombiniere $\sec (9 x - 5)$ und $\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5}$ .

$\frac{\sec (9 x - 5) (18 \sec (9 x - 5))}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.6

Potenziere $\sec (9 x - 5)$ mit $1$ .

$\frac{18 (\sec^{1} (9 x - 5) \sec (9 x - 5))}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.7

Potenziere $\sec (9 x - 5)$ mit $1$ .

$\frac{18 (\sec^{1} (9 x - 5) \sec^{1} (9 x - 5))}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 {\sec (9 x - 5)}^{1 + 1}}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{18 \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\tan (9 x - 5)$ und $\frac{18 \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ .

$\frac{\tan (9 x - 5) (18 \sec^{2} (9 x - 5))}{5} \frac{d}{d x} [9 x - 5]$

Schritt 2.9.3

Bringe $18$ auf die linke Seite von $\tan (9 x - 5)$ .

$\frac{18 \cdot \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} \frac{d}{d x} [9 x - 5]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.11

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 2.14

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + 0)$

Schritt 2.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.15.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} \cdot 9$

Schritt 2.15.2

Kombiniere $\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ und $9$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5) \cdot 9}{5}$

Schritt 2.15.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $18$ .

$\frac{162 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$

Schritt 2.15.3.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{162 \sec^{2} (9 x - 5) \tan (9 x - 5)}{5}$