Analysis Beispiele

$y = 4 x \sin^{-1} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x \sin^{-1} (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin^{-1} (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)] + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin^{-1} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$4 (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \cdot 1)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\sin^{-1} (x)$ mit $1$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.17

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.18

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.19

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.20

Kombiniere $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.21

Bringe ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.22

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.23

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.23.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.23.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.23.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.26

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.27

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.28

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.29

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.31

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.32

Um ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.34

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.34.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.34.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.34.3

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.34.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.35

Vereinfache ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.36

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.37

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.38

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.38.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.38.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.38.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.38.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.39

Vereinfache.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.40

Schreibe $\frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$ als ein Produkt um.

$4 (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.41

Mutltipliziere $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.42

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.42.1

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.42.1.1

Potenziere $1 - x^{2}$ mit $1$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.42.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.42.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.42.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.42.4

Addiere $1$ und $2$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.2.43

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin^{-1} (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin^{-1} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 2.4.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 2.4.1.3.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 2.4.1.3.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Schritt 2.4.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 2.4.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Schritt 2.4.1.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.2

Um $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.3

Um $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ mit $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.4.3

Stelle die Faktoren von ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ um.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.4.4

Stelle die Faktoren von $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ um.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 (1 + x) (1 - x) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.4.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 (1 + x) (1 - x)$ heraus.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.3

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 (1 - x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.6.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x + x + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 (1 - x + x - x \cdot x + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (1 - x + x - (x \cdot x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (1 - x + x - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{4 (1 + 0 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.4.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.5

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.6.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.6.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.6.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.7

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.7.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.7.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.8

Schreibe ${(1 - x^{2})}^{2}$ als $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ um.

$\frac{4 (1 - x^{2} + (1 - x^{2}) (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.9

Multipliziere $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.6.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.6.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.6.10.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.2

Mutltipliziere $- x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.10.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.10.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 2 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.12

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 2 + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.13

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.14

Schreibe $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.4.6.14.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{4 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.14.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{4 (u^{2} - 3 u + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.14.3

Faktorisiere $u^{2} - 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.6.14.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 2.4.6.14.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 ((u - 2) (u - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.14.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.14.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.6.14.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.4.7

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

Schritt 2.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

Schritt 2.4.9

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.4.11

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1 (1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Schritt 2.4.13

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

Schritt 2.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

Schritt 2.4.15

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (x^{2} - 2) \cdot (- 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.4.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$