Analysis Beispiele

$y = 2 \sec (5 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec (5 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$2 (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f' (x) = 10 \sec (5 x) \tan (5 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \sec (5 x) \tan (5 x)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (5 x)$ und $g (x) = \tan (5 x)$ .

$10 (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.4

Potenziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$10 (\sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 ({\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.6.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \cdot 5 + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.6.4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec^{3} (5 x)$ .

$10 (5 \cdot \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.7.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.8

Potenziere $\tan (5 x)$ mit $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.9

Potenziere $\tan (5 x)$ mit $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + {\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.12

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1))$

Schritt 2.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.14.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5)$

Schritt 2.14.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + 5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)))$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (5 \sec^{3} (5 x)) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Schritt 2.15.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.15.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Schritt 2.15.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$

Schritt 2.15.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 50 \sec^{3} (5 x)$