Analysis Beispiele

$y = 7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$14 x + 2 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{4 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 x + 2 - \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$14 x + 2 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 1.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$14 x + 2 - (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 1.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 1.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \cdot 4)$

Schritt 1.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$14 x + 2 - (4 \cdot e^{4 x})$

Schritt 1.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 14 x + 2 - 4 e^{4 x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $14 x + 2 - 4 e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$14 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 e^{4 x}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$14 + 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \cdot 4)$

Schritt 2.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$14 + 0 - 4 (4 \cdot e^{4 x})$

Schritt 2.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$14 + 0 - 16 e^{4 x}$

Schritt 2.5

Addiere $14$ und $0$ .

$f'' (x) = 14 - 16 e^{4 x}$