Analysis Beispiele

$y = 4 x \frac{1}{2} + 3 x \frac{5}{3} + x^{- 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x (\frac{1}{2}) + 3 x (\frac{5}{3}) + x^{- 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x (\frac{1}{2})]$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{4}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 4}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot x}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2 (1)}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1}] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x (\frac{5}{3})]$ .

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{3}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x \frac{3 \cdot 5}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x \frac{15}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{15}{3}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 15}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.4

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{15 \cdot x}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x$ heraus.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3 (1)}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{3 (5 x)}{3 \cdot 1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{1}] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.5.2.4

Dividiere $5 x$ durch $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 + 5 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$2 + 5 - 2 x^{- 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2$ und $5$ .

$7 - 2 x^{- 3}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$- 2 x^{- 3} + 7$

Schritt 1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 7$

Schritt 1.5.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 7$

Schritt 1.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 7$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{3}} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{- 4} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{6}{x^{4}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $\frac{6}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$