Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{4} \cot (2 x - 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} \cdot \cot (2 x - 1)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x - 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x - 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\csc^{2} (2 x - 1)$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} (2 + 0)$

Schritt 1.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4} \cdot 2$

Schritt 1.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4}$

Schritt 1.3.7.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{4}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (2 x - 1)}{4}$

Schritt 1.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 1.3.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \csc^{2} (2 x - 1)$ heraus.

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{4}$

Schritt 1.3.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.7.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{2 (2)}$

Schritt 1.3.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x - 1))}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \csc^{2} (2 x - 1)}{2}$

Schritt 1.3.7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{\csc^{2} (2 x - 1)}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x - 1)]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x - 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (2 x - 1)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (2 x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (2 x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} (2 \csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Schritt 2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) (\csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} (\csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)])$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\csc (2 x - 1)$ und $\frac{- 2}{2}$ .

$\frac{\csc (2 x - 1) \cdot - 2}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.3.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\csc (2 x - 1)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (2 x - 1)}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \csc (2 x - 1)$ heraus.

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \csc (2 x - 1))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \csc (2 x - 1)}{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.3.5.2.4

Dividiere $- \csc (2 x - 1)$ durch $1$ .

$- \csc (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x - 1)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$- \csc (2 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \csc (2 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$- \csc (2 x - 1) (- \csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.5

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \csc (2 x - 1) (\csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\csc (2 x - 1)$ mit $1$ .

$\csc (2 x - 1) (\csc (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.6

Potenziere $\csc (2 x - 1)$ mit $1$ .

$\csc^{1} (2 x - 1) \csc (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.7

Potenziere $\csc (2 x - 1)$ mit $1$ .

$\csc^{1} (2 x - 1) \csc^{1} (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\csc (2 x - 1)}^{1 + 1} (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) (\cot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) (2 + 0)$

Schritt 2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1) \cdot 2$

Schritt 2.15.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (2 x - 1) \cot (2 x - 1)$