Analysis Beispiele

$y = {(\sqrt{x} - 7)}^{- 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.8.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.9

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 1.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.10.1

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$

Schritt 1.10.3

Kombiniere $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ .

$\frac{- 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.10.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.10.4.1

Bringe ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Schritt 1.10.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}$ um.

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{3}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$- \frac{3}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Schritt 2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} ({(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}])$

Schritt 2.3.3

Kombiniere ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Schritt 2.3.4.2

Bringe ${(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}] + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7]) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.11.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.12

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.13.1

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.13.3

Kombiniere $\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.13.4

Faktorisiere $2$ aus $4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ heraus.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.15

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.15.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3})}{x^{\frac{1}{2}}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.15.3

Dividiere $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ durch $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.17

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.18

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.20.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.20.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.22

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.23

Kombiniere ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.24

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.25

Um $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.26

Kombiniere $2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} (\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{2 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (2 x^{\frac{1}{2}}) + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.28

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}} \cdot \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.29

Mutltipliziere $\frac{3}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}}$ mit $\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{2 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.30

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 {(x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31

Vereinfache.

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Schritt 2.31.1

Wende die Produktregel auf $x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ an.

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.31.3.1

Faktorisiere $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ aus $3 \cdot 4 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} x^{\frac{1}{2}} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ heraus.

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Schritt 2.31.3.1.1

Bewege ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.3.1.2

Faktorisiere $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ aus $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ heraus.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.3.1.3

Faktorisiere $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ aus $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4}$ heraus.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.3.1.4

Faktorisiere $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ aus $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ heraus.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.3.2

Addiere $4 x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.31.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.31.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.31.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{1} {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4.2

Vereinfache.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.31.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{4 \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.31.4.4

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.31.4.4.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.31.4.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.5

Faktorisiere ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ aus $3 {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)$ heraus.

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}}$

Schritt 2.31.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.31.4.6.1

Faktorisiere ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3}$ aus $4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{8}$ heraus.

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Schritt 2.31.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7))}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{3} (4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5})}$

Schritt 2.31.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{1}{2}} - 7)}{4 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{5}}$