Analysis Beispiele

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 + \frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $7 + \frac{4}{x}$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + \frac{4}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Schritt 1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Schritt 1.2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 16$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{- 16}{x^{2}}$ und ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{7 x + 4}{x}$ an.

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $16$ und $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.3.6

Kombinieren.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Schritt 1.3.7.2

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $16 {(7 x + 4)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ und $g (x) = x^{5}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 7 x + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1

Addiere $7$ und $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.5.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ aus $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1.1

Faktorisiere $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ aus $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ heraus.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.1.2

Faktorisiere $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ aus $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ heraus.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.1.3

Faktorisiere $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ aus $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ heraus.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.2

Bringe $21$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.6

Subtrahiere $35 x$ von $21 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x - 20$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ heraus.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ heraus.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

Schritt 2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x$ heraus.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.5

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x) - 1 (10)$ heraus.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

Schritt 2.6.7

Schreibe $- (7 x + 10)$ als $- 1 (7 x + 10)$ um.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

Schritt 2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.10

Mutltipliziere $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ mit $1$ .

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Schritt 2.6.11

Stelle die Faktoren in $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ um.

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$