Analysis Beispiele

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{3} j + 1$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $j$ .

$\frac{j}{3} + 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + 1$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + 1 = \sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + \sum_{j = 1}^{7} 1$

Schritt 3

Berechne $\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\frac{1}{3}$ aus der Summe raus.

$(\frac{1}{3}) \sum_{j = 1}^{7} j$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{3}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{56}{2}$

Schritt 3.4.1.3

Dividiere $56$ durch $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 28$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $28$ .

$\frac{28}{3}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{j = 1}^{7} 1$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (7)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{28}{3} + 7$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 + 7 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{28 + 21}{3}$

Schritt 6.4.2

Addiere $28$ und $21$ .

$\frac{49}{3}$