Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \ln (x)$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 8]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 2.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 8]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(1, 8)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $(1, 8)$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(1, 8)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(1, 8)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(1, 8)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[1, 8]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 8)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 8]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 8)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[1, 8]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[1, 8]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = \ln (8)$

Schritt 8.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Schritt 9

Löse $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

Schritt 9.1.2

Addiere $\ln (8)$ und $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $\frac{\ln (8)}{7}$ als $\frac{1}{7} \ln (8)$ um.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

Schritt 9.1.6

Vereinfache $\frac{1}{7} \ln (8)$ , indem du $\frac{1}{7}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Schritt 9.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 9.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 9.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Schritt 9.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Stelle die Faktoren in $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ um.

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Schritt 9.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Schreibe die Gleichung als $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ um.

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

Schritt 9.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ durch $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ durch $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Schritt 9.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Schritt 9.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 8$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 8$ verläuft

Schritt 11