Analysis Beispiele

$\frac{d^{2}}{d t^{2}} (t^{12} \ln (t))$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Produktregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{12}$ und $g (t) = \ln (t)$ .

$t^{12} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$t^{12} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $t^{12}$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{t^{12}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{12}$ und $t$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{12}$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t \cdot t^{11}}{t^{1}} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \cdot t^{11}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{11}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.2.2.5

Dividiere $t^{11}$ durch $1$ .

$t^{11} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 12$ .

$t^{11} + \ln (t) (12 t^{11})$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (t) = t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$

Schritt 3

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{11} + 12 t^{11} \ln (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{11}] + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 11$ .

$11 t^{10} + \frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d t} [12 t^{11} \ln (t)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $12 t^{11} \ln (t)$ nach $t$ gleich $12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$ .

$11 t^{10} + 12 \frac{d}{d t} [t^{11} \ln (t)]$

Schritt 3.2.2

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [t^{11}])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 11$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{11} \frac{1}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $t^{11}$ und $\frac{1}{t}$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{11}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{11}$ und $t$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{11}$ heraus.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t^{1}} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.6.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t \cdot t^{10}}{t \cdot 1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$11 t^{10} + 12 (\frac{t^{10}}{1} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.2.6.2.5

Dividiere $t^{10}$ durch $1$ .

$11 t^{10} + 12 (t^{10} + \ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 12 (\ln (t) (11 t^{10}))$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $11$ mit $12$ .

$11 t^{10} + 12 t^{10} + 132 (\ln (t) (t^{10}))$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $11 t^{10}$ und $12 t^{10}$ .

$23 t^{10} + 132 \ln (t) t^{10}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$f'' (t) = 23 t^{10} + 132 t^{10} \ln (t)$