Analysis Beispiele

$f (x) = (x - 4) (4 x + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = 4 x + 5$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [4 x + 5] + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 4) (4 + 0) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (1 + 0)$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) \cdot 1$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 4 - 4 \cdot 4 + (4 x + 5) \cdot 1$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 4 - 4 \cdot 4 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 \cdot x - 4 \cdot 4 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$4 x - 16 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x - 16 + 4 x + 5 \cdot 1$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$4 x - 16 + 4 x + 5$

Schritt 5.3.5

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$8 x - 16 + 5$

Schritt 5.3.6

Addiere $- 16$ und $5$ .

$8 x - 11$