Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} h (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5} h$ und $g (x) = x$ .

$x^{5} h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{5} h]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{5} h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{5} h]$

Schritt 2.2

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{5} h$ nach $x$ gleich $h \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x^{5} h \cdot 1 + x (h \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{5} h \cdot 1 + x (h (5 x^{4}))$

Schritt 2.4

Stelle um.

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Schritt 2.4.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $h$ .

$x^{5} h \cdot 1 + x (5 \cdot h x^{4})$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $5 h x^{4}$ um.

$x^{5} h \cdot 1 + x (5 x^{4} h)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$h \cdot x^{5} + x (5 x^{4} h)$

Schritt 3.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$h x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) h$

Schritt 3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h x^{5} + 5 x^{1 + 4} h$

Schritt 3.1.4

Addiere $1$ und $4$ .

$h x^{5} + 5 x^{5} h$

Schritt 3.1.5

Addiere $h x^{5}$ und $5 x^{5} h$ .

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x^{5}$ .

$h x^{5} + 5 h x^{5}$

Schritt 3.1.5.2

Addiere $h x^{5}$ und $5 h x^{5}$ .

$6 h x^{5}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $6 h x^{5}$ um.

$6 x^{5} h$