Analysis Beispiele

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Schritt 1

Benutze die Definition des Tangens, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\tan (θ) = \frac{gegenüber}{Ankathete}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Gegenkathete und die Ankathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Hypotenuse = \sqrt{{gegenüber}^{2} + {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Hypotenuse = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

Hypothenuse $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Hypothenuse $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypothenuse $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Hypothenuse $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

Hypothenuse $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.3.5

Berechne den Exponenten.

Hypothenuse $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

Hypothenuse $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

Hypothenuse $= \sqrt{12 + 9}$

Schritt 4.6

Addiere $12$ und $9$ .

Hypothenuse $= \sqrt{21}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Wert von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Vereinige $\sqrt{3}$ und $\sqrt{21}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $21$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{7}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ um.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

Schritt 5.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Schritt 5.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Schritt 5.3.6.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Schritt 5.3.6.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Schritt 5.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Schritt 5.3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Schritt 5.3.6.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 5.3.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 5.3.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 5.3.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 5.3.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 5.3.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Schritt 5.3.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Schritt 5.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Schritt 6

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 6.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $21$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{21}$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ und $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 8.3.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 8.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 10

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 10.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 10.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 10.3.1

Vereinige $\sqrt{21}$ und $\sqrt{3}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

Schritt 10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

Schritt 10.3.2.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Schritt 11

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$