Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Schritt 1.1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

Schritt 1.1.1.2.7

Addiere $2 x + 5$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ um.

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $2 x + 5$ mit $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = - \frac{5}{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Multipliziere $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.6.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.6.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

Schritt 1.4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Schreibe $9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

Schritt 1.4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 1.4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Schritt 1.4.1.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Schritt 1.4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Addiere $- 25$ und $36$ .

$\ln (\frac{11}{4})$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\ln (9 - 15 + 9)$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Subtrahiere $15$ von $9$ .

$\ln (- 6 + 9)$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $- 6$ und $9$ .

$\ln (3)$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\ln (1 + 5 + 9)$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.2.2.1

Addiere $1$ und $5$ .

$\ln (6 + 9)$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $6$ und $9$ .

$\ln (15)$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(1, \ln (15))$

Absolutes Minimum: $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Schritt 4