Analysis Beispiele

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d y} (4 (x - 5))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(y - 3)}^{2}$ als $(y - 3) (y - 3)$ um.

$\frac{d}{d y} [(y - 3) (y - 3)]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(y - 3) (y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 6 y + 9]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 6 y + 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $y$ gleich $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$2 y - 6 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.9

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y - 6 + 0$

Schritt 2.10

Addiere $2 y - 6$ und $0$ .

$2 y - 6$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 (x - 5)$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x - 5]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 (x' + \frac{d}{d y} [- 5])$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 (x' + 0)$

Schritt 3.5

Addiere $x'$ und $0$ .

$4 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y - 6 = 4 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 x' = 2 y - 6$ um.

$4 x' = 2 y - 6$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x' = 2 y - 6$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x' = 2 y - 6$ durch $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x' = \frac{2 (y)}{4} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 6}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 (- 3)}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $9$ und $y$ durch $7$ in dem Ausdruck.

$\frac{d x}{d y} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 - 3}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$\frac{4}{2}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$2$