Analysis Beispiele

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Schritt 3.5.3

Stelle die Faktoren in $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ um.

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Schritt 6

Ersetze $x$ durch $0$ und $y$ durch $0$ in dem Ausdruck.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Schritt 7

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Schritt 7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Schritt 7.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$0 + 8$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $8$ .

$8$