Analysis Beispiele

$3 \sin (y) + x = y^{2}$ ; $(π^{2}, π)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (3 \sin (y) + x) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \sin (y) + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{d}{d y} [3 \sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [3 \sin (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (y)$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$3 \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 \cos (y) + x'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$x' + 3 \cos (y)$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' + 3 \cos (y) = 2 y$

Schritt 5

Subtrahiere $3 \cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' = 2 y - 3 \cos (y)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 y - 3 \cos (y)$

Schritt 7

Ersetze $x$ durch $p^{2}$ und $y$ durch $p$ in dem Ausdruck.

$\frac{d x}{d y} = 2 (p) - 3 \cos (p)$

Schritt 8

Multipliziere $2$ mit $p$ .

$2 p - 3 \cos (p)$