Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{2}$ zu dividieren.

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Schritt 2.11.3

Stelle die Terme um.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x \ln (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{2}$ zu dividieren.

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.13

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $\ln (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $10$ und $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Schritt 5.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{2}$ zu dividieren.

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.1.5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.5.3.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.7.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.7.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Schritt 5.1.11

Vereinfache.

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Schritt 5.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Schritt 5.1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Schritt 5.1.11.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ durch $10 x$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ durch $10 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Schritt 6.3.2.2.2

Dividiere $\ln (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

Schritt 6.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x$ heraus.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Schritt 6.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Schritt 6.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 6.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.5

Schreibe $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

Schritt 6.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 6.6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.3.2.1

Vereinfache $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.6.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.6.3.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze das Argument in $\ln (\frac{x}{2})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x}{2} \leq 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \leq 0 \cdot 2$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$x \leq 0$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

Schritt 10.1.2

Kombinieren.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Schritt 10.1.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Schritt 10.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

Schritt 10.1.4

Bringe $e^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

Schritt 10.1.5

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

Schritt 10.1.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

Schritt 10.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

Schritt 10.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

Schritt 10.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

Schritt 10.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot - 1 + 15$

Schritt 10.1.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 + 15$

Schritt 10.2

Addiere $- 5$ und $15$ .

$10$

Schritt 11

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ an.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 12.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.3

Multipliziere $5 \frac{4}{e}$ .

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Schritt 12.2.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Schritt 12.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 12.2.5

Kombinieren.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Schritt 12.2.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Schritt 12.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.2.7

Bringe $e^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 12.2.8

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 12.2.9

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 12.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Schritt 12.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.11.2

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.11.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Schritt 12.2.12

Kombiniere $\frac{10}{e}$ und $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Schritt 12.2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.13.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

Schritt 12.2.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

Schritt 12.2.14

Die endgültige Lösung ist $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14