Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{3} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{2} (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.6

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 7

Setze $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 7.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 7.2.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 7.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.7

Löse in $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.2.7.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 7.2.8

Löse in $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.2.8.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 7.2.9

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, π$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Schritt 10.1.9

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Schritt 10.1.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 6 - 3$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6 - 3$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 6$ .

$- 9$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Schritt 12.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Schritt 12.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Schritt 12.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$f (0) = 5$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.7

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.8

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.9

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Schritt 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Schritt 14.1.14

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14.1.15

Multipliziere $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.1.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Schritt 14.1.15.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 14.2.1

Addiere $0$ und $6$ .

$6 + 3$

Schritt 14.2.2

Addiere $6$ und $3$ .

$9$

Schritt 15

$x = π$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = π$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Schritt 16.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Schritt 16.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Schritt 16.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Schritt 16.2.1.6

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Schritt 16.2.1.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.2.1.8

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 16.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Schritt 16.2.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$y = - 5$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ ist ein lokales Maximum

$(π, - 5)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18