Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 3 x$ , $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = {(1)}^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(1)}^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(1)}^{2} - 3 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 3 \cdot 1$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$y = 1 - 3$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y = - 2$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 x - 3$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$2 (1) - 3$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 3$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 1$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(1, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = - 1 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = - 1 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.4.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + 2 = - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 2 = - x + 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 - 2$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y = - x - 1$

Schritt 4