Analysis Beispiele

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $3 t^{2} + 27$ mit $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} + 27$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.7

Da $27$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.8.1

Addiere $6 t$ und $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.8

Subtrahiere $6 t^{2}$ von $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.10.3.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 t^{2} + 108$ heraus.

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Schritt 1.1.10.3.1.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 t^{2}$ heraus.

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.3.1.2

Faktorisiere $12$ aus $108$ heraus.

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.3.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ heraus.

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.3.3

Stelle $- t^{2}$ und $3^{2}$ um.

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.10.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2} + 27$ heraus.

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Schritt 1.1.10.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2}$ heraus.

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ heraus.

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Schritt 1.1.10.4.2

Wende die Produktregel auf $3 (t^{2} + 9)$ an.

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 1.1.10.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12 (3 + t) (3 - t)$ heraus.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.10.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 1.1.10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Schritt 1.1.10.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $3 + t$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $3 + t$ gleich $0$ .

$3 + t = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 3$

Schritt 2.3.3

Setze $3 - t$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $3 - t$ gleich $0$ .

$3 - t = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $3 - t = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- t = - 3$

Schritt 2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- t = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- t = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$t = 3$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ wahr machen.

$t = - 3, 3$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $t = - 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $t$ durch $- 3$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $4 (- 3)$ heraus.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(- 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ heraus.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Schritt 4.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Schritt 4.1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $9$ und $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $18$ .

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Schritt 4.1.2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{18}$

Schritt 4.1.2.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{9}$

Schritt 4.1.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{9}$

Schritt 4.2

Berechne bei $t = 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $t$ durch $3$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $3 {(3)}^{2} + 27$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $4 (3)$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(3)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Schritt 4.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Schritt 4.2.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $9$ und $9$ .

$\frac{4}{18}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $18$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{18}$

Schritt 4.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

Schritt 5