Analysis Beispiele

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec (θ)$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (θ)$ nach $θ$ ist $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

Schritt 2.2

Ersetze die $\sec^{2} (θ)$ durch $1 + \tan^{2} (θ)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Schritt 2.5

Multipliziere $\tan (θ)$ mit $\tan^{2} (θ)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (θ)$ mit $\tan (θ)$ .

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Schritt 2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

Schritt 2.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

Schritt 2.6

Stelle das Polynom um.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

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Schritt 2.7.1.1

Faktorisiere $2 \sec (θ) \tan (θ)$ aus $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ heraus.

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Schritt 2.7.1.1.1

Faktorisiere $2 \sec (θ) \tan (θ)$ aus $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ heraus.

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Schritt 2.7.1.1.2

Faktorisiere $2 \sec (θ) \tan (θ)$ aus $2 \sec (θ) \tan (θ)$ heraus.

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

Schritt 2.7.1.1.3

Faktorisiere $2 \sec (θ) \tan (θ)$ aus $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ heraus.

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

Schritt 2.7.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

Schritt 2.7.1.3

Multipliziere $\sec (θ)$ mit $\sec^{2} (θ)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.3.1

Bewege $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

Schritt 2.7.1.3.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (θ)$ mit $\sec (θ)$ .

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Schritt 2.7.1.3.2.1

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

Schritt 2.7.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

Schritt 2.7.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

Schritt 2.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

Schritt 2.9

Setze $\sec^{3} (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 2.9.1

Setze $\sec^{3} (θ)$ gleich $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

Schritt 2.9.2

Löse $\sec^{3} (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.9.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.9.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\sec (θ) = 0$

Schritt 2.9.2.3

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.10

Setze $\tan (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 2.10.1

Setze $\tan (θ)$ gleich $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Schritt 2.10.2

Löse $\tan (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 2.10.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (0)$

Schritt 2.10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.10.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 2.10.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + 0$

Schritt 2.10.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$θ = π$

Schritt 2.10.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 2.10.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.10.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.10.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.10.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.10.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ wahr machen.

$θ = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\sec (θ)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Werte $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ an jeden $θ$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $θ = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $θ$ durch $0$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \tan (0)$

Schritt 4.1.2.1.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Berechne bei $θ = π$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $θ$ durch $π$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

Schritt 4.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

Schritt 4.2.2.1.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 2 - \tan (0)$

Schritt 4.2.2.1.5

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- 2 - 0$

Schritt 4.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5