Analysis Beispiele

$0 = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 324 x$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{3} = - 72 x^{2} + 324 x$

Schritt 1.2

Addiere $72 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} = 324 x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $324 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$4 x (- x^{2}) + 72 x^{2} - 324 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $72 x^{2}$ heraus.

$4 x (- x^{2}) + 4 x (18 x) - 324 x = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $- 324 x$ heraus.

$4 x (- x^{2}) + 4 x (18 x) + 4 x (- 81) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x^{2}) + 4 x (18 x)$ heraus.

$4 x (- x^{2} + 18 x) + 4 x (- 81) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x^{2} + 18 x) + 4 x (- 81)$ heraus.

$4 x (- x^{2} + 18 x - 81) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ und deren Summe gleich $b = 18$ ist.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $18$ aus $18 x$ heraus.

$4 x (- x^{2} + 18 (x) - 81) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $18$ um als $9$ plus $9$

$4 x (- x^{2} + (9 + 9) x - 81) = 0$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (- x^{2} + 9 x + 9 x - 81) = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 x ((- x^{2} + 9 x) + 9 x - 81) = 0$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (x (- x + 9) - 9 (- x + 9)) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 9$ .

$4 x ((- x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (- x + 9) (x - 9) = 0$

Schritt 4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$4 x (- (x) + 9) (x - 9) = 0$

Schritt 4.2

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$4 x (- (x) - 1 \cdot - 9) (x - 9) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 9)$ heraus.

$4 x (- (x - 9)) (x - 9) = 0$

Schritt 4.4

Schreibe $- (x - 9)$ als $- 1 (x - 9)$ um.

$4 x (- 1 (x - 9)) (x - 9) = 0$

Schritt 4.5

Entferne die Klammern.

$4 x \cdot (- 1 (x - 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 4.6

Potenziere $x - 9$ mit $1$ .

$4 x \cdot (- 1 ((x - 9) (x - 9))) = 0$

Schritt 4.7

Potenziere $x - 9$ mit $1$ .

$4 x \cdot (- 1 ((x - 9) (x - 9))) = 0$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x \cdot (- 1 {(x - 9)}^{1 + 1}) = 0$

Schritt 4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x \cdot (- 1 {(x - 9)}^{2}) = 0$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x {(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse ${(x - 9)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x {(x - 9)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$