Analysis Beispiele

$\frac{x}{6} \tan^{2} (\frac{x}{6})$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{x}{6}$ und $\tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\int \frac{x \tan^{2} (\frac{x}{6})}{6} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int x \tan^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - \int - x + 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x)$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (\int - x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- \int x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Schritt 7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Schritt 8

Sei $u = \frac{1}{6} x$ . Dann ist $d u = \frac{1}{6} d x$ , folglich $6 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \frac{1}{6} x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x]$

Schritt 8.1.2

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Schritt 9.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{6}$ zu dividieren.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) (1 \cdot 6) d u))$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \cdot 6 d u))$

Schritt 9.5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\tan (u)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int 6 \tan (u) d u))$

Schritt 10

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (6 \int \tan (u) d u)))$

Schritt 11

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 \int \tan (u) d u))$

Schritt 12

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 (\ln (| \sec (u) |) + C)))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

$\frac{1}{6} (- x^{2} + 6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- 2 x^{2} + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 13.2.5

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 13.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |)) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.3

Vereinfache.

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Schritt 15.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 15.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x \tan (\frac{x}{6})$ heraus.

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.3.2

Multipliziere $\frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Schritt 15.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{6 \cdot 2} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Schritt 15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 15.3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)$ heraus.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Schritt 15.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Schritt 15.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} - 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |) + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$x \tan (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{12} x^{2} - 6 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |) + C$