Analysis Beispiele

$\frac{x}{3^{x}}$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $3^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int x {(3^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{x})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int x \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int x \cdot 3^{- x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = 3^{- x}$ .

$x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x}) - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $3^{- x}$ und $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)}) - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \int - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x$

Schritt 4

Da $- \frac{1}{\ln (3)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{\ln (3)}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - (- \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + 1 (\frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (3)}$ mit $1$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} \int 3^{- x} d x$

Schritt 6

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} \int - 3^{u} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int 3^{u} d u)$

Schritt 8

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$

Schritt 9

Schreibe $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C))$ als $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$ um.

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{u}}{\ln^{2} (3)} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)} - \frac{3^{- x}}{\ln^{2} (3)} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{\ln (3)} x \cdot 3^{- x} - \frac{1}{\ln^{2} (3)} \cdot 3^{- x} + C$