Analysis Beispiele

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Schritt 4.2

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Schritt 5

Sei $u = - \frac{t}{3}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{3} d t$ , folglich $- 3 d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - \frac{t}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Schritt 5.1.2

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{3}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Schritt 6.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Schritt 7

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Schritt 10

Schreibe $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ als $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ um.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$