Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec (x)$ als $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ um.

$\int \frac{\frac{\csc (x)}{\cot (x)}}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 1.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\int \frac{\frac{\csc (x)}{\cot (x)}}{{(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Schritt 1.3.2

Kombinieren.

$\int \frac{\csc (x) \cdot 1}{\cot (x) {(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x) {(\frac{1}{\cot (x)})}^{2}} d x$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cot (x)}$ an.

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x) \frac{1^{2}}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Schritt 1.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \frac{\csc (x)}{\cot (x) \frac{1}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\cot (x)$ und $\frac{1}{{\cot (x)}^{2}}$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x)}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cot (x)}{{\cot (x)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x) \cdot 1}{{\cot (x)}^{2}}} d x$

Schritt 1.3.6.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus ${\cot (x)}^{2}$ heraus.

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x) \cdot 1}{\cot (x) \cot (x)}} d x$

Schritt 1.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{\cot (x) \cdot 1}{\cot (x) \cot (x)}} d x$

Schritt 1.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\csc (x)}{\frac{1}{\cot (x)}} d x$

Schritt 1.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 2

Da die Ableitung von $- \csc (x)$ gleich $\csc (x) \cot (x)$ ist, ist das Integral von $\csc (x) \cot (x)$ gleich $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$