Analysis Beispiele

$3 {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3})$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$

Schritt 2

Sei $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Dann ist $d u = (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$ , folglich $\frac{1}{- 5 - 4 x + 28 x^{3}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 5 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 5 - 4 x + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Schritt 2.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{4}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 (4 x^{3})$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$0 - 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Schritt 2.1.6.2

Stelle die Terme um.

$28 x^{3} - 4 x - 5$

Schritt 2.1.7

Ordne Terme um.

$- 4 x - 5 + 28 x^{3}$

Schritt 2.1.8

Ordne Terme um.

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int u^{2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ um.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{3} + C$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$u^{3} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

${(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{3} + C$