Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{125} \frac{i + 1}{15625}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625} + \frac{1}{15625} = \sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625} + \sum_{k = 1}^{125} \frac{1}{15625}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\frac{1}{15625}$ aus der Summe raus.

$\frac{1}{15625} \sum_{k = 1}^{125} i$

Schritt 2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{15625}) (\frac{125 (125 + 1)}{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1.1

Addiere $125$ und $1$ .

$\frac{1}{15625} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $125$ mit $126$ .

$\frac{1}{15625} \cdot \frac{15750}{2}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $125$ aus $15625$ heraus.

$\frac{1}{125 (125)} \cdot \frac{15750}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $125$ aus $15750$ heraus.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{125} \cdot \frac{126}{2}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{125}$ mit $\frac{126}{2}$ .

$\frac{126}{125 \cdot 2}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $125$ mit $2$ .

$\frac{126}{250}$

Schritt 2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $126$ und $250$ .

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Schritt 2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $126$ heraus.

$\frac{2 (63)}{250}$

Schritt 2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $250$ heraus.

$\frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 125}$

Schritt 2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 125}$

Schritt 2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{63}{125}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{125} \frac{1}{15625}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{1}{15625}) (125)$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $125$ aus $15625$ heraus.

$\frac{1}{125 (125)} \cdot 125$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot 125$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{125}$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{63}{125} + \frac{1}{125}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{63 + 1}{125}$

Schritt 5.2

Addiere $63$ und $1$ .

$\frac{64}{125}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{64}{125}$

Dezimalform:

$0.512$