Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{50} (2 i - 1) (2 i + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(2 i - 1) (2 i + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i (2 i + 1) - 1 (2 i + 1)$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i + 1)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 i \cdot 1$ und $- 1 (2 i)$ neu an.

$2 i (2 i) + 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2 i$ von $1 \cdot 2 i$ .

$2 i (2 i) + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Addiere $2 i (2 i)$ und $0$ .

$2 i (2 i) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 i \cdot i - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $i$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 i^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 i^{2} - 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1 = 4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + \sum_{i = 1}^{50} - 1$

Schritt 3

Berechne $4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $50$ und $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $100$ und $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2550$ mit $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{257550}{3})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Schritt 3.3.2.4.2

Dividiere $515100$ durch $3$ .

$171700$

Schritt 4

Berechne $\sum_{i = 1}^{50} - 1$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 1) (50)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $50$ .

$- 50$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$171700 - 50$

Schritt 6

Subtrahiere $50$ von $171700$ .

$171650$