Analysis Beispiele

$\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}} d t$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Schritt 2

Nehme die Ableitung von $\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$